0 引言

战术导弹要求具备全天候作战能力，以适用于高原、沙漠、海洋等各种复杂环境下的部署和使用，因此要求发动机能承受高低温环境的影响。柔性接头是发动机柔性喷管的关键部件，由金属前法兰、后法兰、金属或非金属增强件与弹性件交替黏接而成，具有结构简单、可全轴摆动、重复性好等优点，常被选为发动机的推力矢量控制方式^[1-4]。针对宽温域(-55~65℃)条件下工作的柔性接头，要求橡胶弹性件应具备优异的高低温性能，目前能满足此温度要求的橡胶有硅橡胶和丁异戊橡胶。硅橡胶高低温性能优异，T_g低达-110℃，文献[5]进行了硅橡胶柔性接头的高低温性能试验，-50~70℃弹性比力矩稳定且数值较小，但硅橡胶力学性能差，与增强件黏接难度大，在工程研制中出现过摆动撕裂的情况，不适应大摆角的工况；丁异戊橡胶T_g可达-104℃，-50℃时伸长耐寒系数达0.8以上，其耐寒性能接近硅橡胶，而力学性能优于硅橡胶^[6]，已用于俄罗斯白杨M导弹、美国MXⅡ级、侏儒导弹等发动机的柔性接头，近些年来我国在丁异戊橡胶的研制上也取得了一定成果^[7]，但尚未见对其本构模型在有限元计算中适用性的研究报道。当下有限元分析是研究柔性接头工作可靠性最常用的方法之一，确定恰当的本构模型是有限元计算的基础，宽温域条件下柔性接头工作环境恶劣，不同温度下柔性接头摆动偏差大，采用不同本构模型的计算精确度不同，因此研究宽温域条件下丁异戊橡胶弹性件的本构模型适用性很有意义。

1 橡胶材料本构研究

橡胶材料常用的本构模型有Neo-Hookean模型、Mooney-Rivilin模型、Yeoh模型、三阶五项式模型、四阶八项式模型、Ogden模型等，应变能函数表达式如下：

Neo-Hookean:

$ W = {C_{10}}({I_1} - 3) $

(1)

Mooney-Rivilin:

$ W = {C_{10}}({I_1} - 3) + {C_{01}}({I_2} - 3) $

(2)

Yeoh:

$ W = {C_{10}}({I_1} - 3) + {C_{20}}{({I_1} - 3)^2} + {C_{30}}{({I_1} - 3)^3} $

(3)

三阶五项式：

$ W = {C_{10}}({I_1} - 3) + {C_{01}}({I_2} - 3) + {C_{20}}{({I_1} - 3)^2} + {C_{11}}({I_1} - 3)({I_2} - 3) + {C_{30}}{({I_1} - 3)^3} $

(4)

四阶八项式：

$ \begin{array}{c} W = {C_{10}}({I_1} - 3) + {C_{01}}({I_2} - 3) + {C_{20}}{({I_1} - 3)^2} + {C_{11}}({I_1} - 3)({I_2} - 3) + {C_{02}}{({I_2} - 3)^2} + \\ {C_{30}}{({I_1} - 3)^3} + {C_{21}}{({I_1} - 3)^2}({I_2} - 3) + {C_{40}}{({I_1} - 3)^4} \end{array} $

(5)

Ogden:

$ W = \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{{{\mu _i}}}{{{\alpha _i}}}} (\lambda _1^{{\alpha _i}} + \lambda _2^{{\alpha _i}} + \lambda _3^{{\alpha _i}} - 3) $

(6)

式中，C_ij、μ_i、α_i为模型参数，λ_i为主伸长比^[8]。

Neo-Hookean模型仅需要一个模型参数，适用于模拟橡胶应变在30%~40%下的单轴拉伸和应变在80%~90%下的纯剪切力学行为；Mooney-Rivlin模型有两个模型参数，适用于模拟橡胶材料应变在150%以内的小变形单轴拉伸行为，且不能预测多轴向拉伸试验^[9]；Yeoh模型考虑了高阶项，适用于模拟炭黑填充橡胶的变形，且在中到大变形范围内模拟精度较高^[10]；James和Green提出了五项到九项多项式展开模型，如三阶五项式模型、四阶八项式模型，这些高阶模型比低阶模型能更好的拟合试验数据，但对输入范围以外的试验数据的预测能力不如那些形式简单的模型；Ogden模型的应变能函数由三个方向的主伸长比定义，且可自由调整项数以拟合试验数据，适用于模拟橡胶大变形行为，但不同试验所确定的模型参数很可能不协调。

对于具备高弹性能的橡胶弹性件，其力学性能受温度、应变、材料种类的影响较大^[11-13]，本构模型的适用范围也随之改变。多种文献中对橡胶的本构模型进行了描述，但大都未提及本构模型的适用范围。文献[14-15]对橡胶常用的本构模型使用仅说明了模糊的应变范围，对橡胶材料未作说明，且对使用温度未展开描述；文献[16]模拟了天然橡胶材料的单轴拉伸试验与剪切试验，推荐采用二阶与三阶的多项式模型，但忽略了温度对本构模型适用性的影响。同一种本构模型在不同温度下的模型参数不同，有限元计算时的收敛性差别也很大，并且在不同应变范围内，不同本构模型的精确度也不相同，因此研究宽温域橡胶在不同温度不同应变下本构模型的适用性具有重要价值。

综上，目前尚没有对宽温域橡胶材料的本构模型适用性的研究报道，为获得不同温度下柔性接头的工作特性，本文针对高低温性能优异的丁异戊橡胶弹性件材料，在-55、-40、20、65℃下分别开展单轴拉伸试验与四重片剪切试验，针对柔性接头弹性件工作时应变一般在150%~300%之间，本文取Neo-Hookean模型、Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型、三阶五项式模型、四阶八项式模型作对比分析，采用最小二乘法拟合各个温度状态下本构模型的模型参数，并通过有限元方法确定各个状态下本构模型的适用范围，为宽温域下柔性接头的有限元计算提供依据。

2 橡胶材料的力学性能试验

橡胶材料的力学性能试验包括单轴拉伸、双轴拉伸、平面拉伸及体积压缩四种。柔性接头弹性件在工作过程中受到拉伸、压缩与剪切载荷的综合作用，因此本文选择单轴拉伸试验与剪切试验来获得丁异戊橡胶的力学性能数据。

2.1 单轴拉伸试验

单轴拉伸试验试样件制作执行标准GB/T528—1998，试验在INSTRON4505万能材料试验机上进行，在-55、-40、20、65℃下对试样件进行单轴拉伸，试样件以50mm/min匀速加载，图 1为各温度下试验的应力应变曲线，不同温度的应力应变曲线有一定差别，在-55~65℃之间，应变为400%、600%、800%时的偏差依次达到了51.9%、45.9%、47.9%，达到相同应变下，温度越高，应力越小，可见温度对橡胶性能影响较大。

2.2 四重片简单剪切试验

根据Q/Gb58.1—87硫化橡胶剪切模量试验方法，试验在INSTRON4505万能材料试验机上进行，在-55、-40、20、65℃下对该试件进行了四重片剪切试验。试样件加载速率25mm/min，图 2为试验的应力应变曲线，与单轴拉伸情况类似，在-55~65℃之间，应变为300%、400%、500%时的偏差依次达到了385%、518%、600%，达到相同应变下，温度越高，应力越小，存在高温软化现象，同样温度对橡胶力学性能的影响较大。

从单轴拉伸曲线与剪切曲线可知，温度影响着橡胶材料的力学性能，故而也影响着橡胶材料的本构模型参数及计算精度，仅用一种温度下的数据去分析其他温度下的变形会造成较大的误差。由于橡胶本构模型参数随温度的变化而改变，同一本构模型在不同温度下的计算误差及收敛性不同，因此研究不同温度下本构模型的适用性是有意义的。

3 橡胶本构模型参数确定 3.1 单轴拉伸试验与剪切试验模型参数的确定

本文采用最小二乘法拟合单轴拉伸试验数据，得到丁异戊橡胶在不同温度下各本构模型的模型参数，见表 1，图 3为-40℃时单轴拉伸试验数据的最小二乘法拟合曲线，从图 3可以看出，模型阶数越高，拟合相关度越接近1，对试验结果拟合也越精确，三阶的Yeoh模型与三阶五项式模型及四阶的四阶八项式模型拟合曲线几乎与试验曲线重合；而低阶Neo-Hookean模型与Mooney-Rivlin模型拟合相关度相对较低，拟合精度也较差。

同样采用最小二乘法拟合剪切试验数据，得到丁异戊橡胶在不同温度下各本构模型的模型参数，见表 2，图 4为-40℃时剪切试验数据的最小二乘法拟合曲线，由图 4可见，同单轴拉伸情况一样，高阶的Yeoh模型、三阶五项式模型、四阶八项式模型拟合相关度很接近1，对试验数据的拟合也很精确，而低阶的Neo-Hookean模型与Mooney-Rivilin模型拟合精度相对较差。

3.2 本构模型预测能力分析

有时由于试验条件的限制，模型参数仅从单一的单轴拉伸试验或剪切试验获得，此时基于一种变形去预测其他变形的结果同样具有重要意义。

以20℃下的单轴拉伸试验数据为例，不同本构模型的对试验数据的拟合曲线见图 5，并以拟合得到的模型参数来预测20℃时的剪切试验结果。从图 6各模型对剪切试验结果的预测可以看出，Neo-Hookean模型的预测曲线与试验数据的相关系数为0.654 3，是最接近1的，高阶模型如四阶八项式模型的相关系数为-3.805，说明预测曲线与试验曲线偏差较大，因此高阶模型如三阶五项式模型、四阶八项式模型对剪切试验结果的预测精度不如低阶的Neo-Hookean模型。

同样，针对20℃下的剪切试验数据，不同本构模型的拟合曲线见图 7，并以拟合得到的模型参数来预测20℃时的单轴拉伸试验结果，从图 8可知，模型阶数越高，模型的预测曲线与试验数据的相关系数值越小，对单轴拉伸试验结果的预测能力也越差，而低阶的Neo-Hookean模型相关系数为0.8230，是各模型中最接近1的，因而预测精度最高。分析原因认为这与本构模型的模型参数有关，本构模型的阶数越高，其所含的模型参数就越多[式(1)~(5)]，由一种变形得到的试验数据拟合得到的模型参数对该变形的模拟是越精确的；但当用于其它变形的预测时，由于变形的不同而导致应力与应变的函数关系发生了改变，模型参数越多则应力应变关系的变化程度就越大，反而使得预测精度下降，低阶的Neo-Hookean模型仅有一个模型参数C10，不同变形间应力应变的函数关系相差不大，因而预测精度较高。

从图 6和图 8还可以得出，对于预测精度最高的Neo-Hookean模型，利用单轴拉伸试验数据预测剪切试验时相关系数为0.6543，而利用剪切试验数据预测单轴拉伸试验时相关系数达到了0.8230，更接近1，说明剪切试验预测单轴拉伸试验的精度比单轴拉伸试验预测剪切试验的精度高，因此当试验条件受限时优先考虑剪切试验，既可以节省试验成本，又可以减少时间，提高工作效率。

总之，对于橡胶材料的各本构模型，基于一种变形对其他变形的结果预测中，阶数越高的模型预测能力越差，而低阶的Neo-Hookean模型预测精度最高，当试验条件受限时优先考虑开展剪切试验。

4 有限元数值模拟

利用表 1、表 2中的模型参数，通过ABAQUS软件再现单轴拉伸试验和四重片简单剪切试验，以确定丁异戊橡胶在不同温度不同应变下本构模型的适用性。试样件有限元模型如图 9所示，对于单轴拉伸试验的模拟，标距段网格沿长、宽、高方向依次划分50等份、14等份、4等份，由于橡胶材料具有大变形特点，故单元类型采用大变形常用的杂交单元C3D8H，模拟受载时试样件一端固定，一端施加拉力；对于四重片剪切试验的模拟，单个橡胶片网格沿长、宽、高方向依次划分25等份、20等份、10等份，单元类型同样采用模拟大变形的杂交单元C3D8H，金属板为钢材料，单元类型采用普通的减缩积分单元C3D8R，模拟受载时固定一端金属板，对另一端金属板施加拉力。

4.1 单轴拉伸试验模拟结果

ABAQUS有限元计算结果与试验结果比较见图 10。-55、-40、20、65℃下，Yeoh模型、三阶五项式模型、四阶八项式模型的模拟结果曲线与试验曲线最为接近，Neo-Hookean模型整体计算的精度较差，而单轴拉伸情况下Mooney-Rivilin模型拟合的模型参数在γ=15%左右有限元计算就发散了，因此在该情况的分析中忽略该本构模型。

应力应变图中按应变划分不同区域比较各模型的计算误差，见图 11。可以得到，单轴拉伸下，应变小于30%内，-55~65℃下Neo-Hookean模型计算误差最小，四阶八项式模型次之，误差均控制在15%以内，各模型误差随温度的升高先减小后增大，0℃附近获得的模型参数计算误差最小，最符合实际情况；应变在30%~50%内，-55~65℃下四阶八项式模型误差最小，控制在15%以内，各模型误差同样随温度的升高先减小后增大；应变在50%~400%内，-55~65℃下三阶五项式模型与四阶八项式模型误差几乎相近，都在5%以内，Yeoh模型误差控制在10%附近，各模型受温度影响较小；应变大于400%下，-55~65℃下Yeoh模型与三阶五项式模型计算误差几乎相等，且受温度影响较小，均在4%附近，而四阶八项式模型的计算误差随温度升高而减小，适用于高温下的计算。

4.2 四重片剪切试验模拟结果

ABAQUS有限元计算结果与试验结果对比见图 12。可以看到，Yeoh模型的结果曲线与试验曲线最为接近，其次是三阶五项式模型，三阶五项式模型同Yeoh模型一样都能准确描述橡胶材料的变形趋势，三阶五项式要求更多的材料参数，并且计算精度也没有Yeoh模型的好，但三阶五项式也有优点，它比Yeoh模型更容易计算收敛，能描述Yeoh模型不能描述的更大变形；Neo-Hookean模型与Mooney-Rivilin模型在大变形下精度是很差的，只能大体说明橡胶材料在小应变区域内的变化趋势；四阶八项式模型要求更多的材料参数，但通过ABAQUS软件只能计算到γ=30%左右，而它描述的是大变形情况，针对有限元模拟难以收敛，在该情况的分析中忽略该本构模型。

同样，在应力应变图中按应变划分不同区域，比较各模型的计算误差(图 13)。简单剪切下，应变小于50%内，-55~65℃下Neo-Hookean模型与Mooney-Rivilin模型的计算误差最小，且模型计算误差有随温度升高而减小的趋势；应变在50%~250%内，-55~20℃下Yeoh模型与三阶五项式模型计算误差相当，而在20~65℃下Yeoh模型计算误差明显低于三阶五项式模型；应变大于250%时，-55~65℃下Yeoh模型计算误差稳定且控制在10%以内，而三阶五项式模型误差在20%左右，二者计算误差随温度变化不大。

根据以上的误差分析，得到丁异戊橡胶在不同温度不同应变范围本构模型的适用范围，见表 3。柔性接头弹性件的剪切应变一般在150%~300%之间，因此，针对宽温域下以丁异戊橡胶为弹性件的柔性接头有限元计算，丁异戊橡胶本构模型选择如下：在-55~20℃内，Yeoh模型与三阶五项式模型都可采用，在20~65℃内Yeoh模型计算精度最高，推荐使用。

5 结论

(1) 基于一种变形对其他变形的结果预测中，阶数越高的本构模型预测能力越差，低阶的Neo-Hookean模型预测精度最高，当试验条件受限时优先考虑开展剪切试验。

(2) 单轴拉伸试验数据拟合的Mooney-Rivilin模型参数与剪切试验数据拟合的四阶八项式模型参数在有限元计算中均不易收敛，因此不建议采用Mooney-Rivilin模型拟合单轴拉伸试验数据及四阶八项式模型拟合剪切试验数据。

(3) 针对丁异戊橡胶材料，-55~20℃内，应变小于50%内Neo-Hookean模型是首选，应变在50%~250%内采用三阶五项式模型，应变大于250%时Yeoh模型最精确；20~65℃内应变小于50%内Neo-Hookean模型最好，应变在50%~300%时Yeoh模型与三阶五项式模型都可选择，应变大于300%时Yeoh模型最精确。

(4) 在宽温域下弹性件为丁异戊橡胶的柔性接头有限元计算分析中，弹性件本构模型选择如下：在-55~20℃内，Yeoh模型与三阶五项式模型都可采用，在20~65℃内Yeoh模型计算精度最高，推荐使用。